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By Rolf Klein

ISBN-10: 3540209565

ISBN-13: 9783540209560

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen nächsten Nachbarn? Wie lässt sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung?

Mit solchen und ähnlichen Fragen beschäftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen stürmischen Verlauf genommen hat.

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in häufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe Hülle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie höherdimensionale Datenstrukturen.

Die vorliegende zweite Auflage wurde gründlich überarbeitet. Sie enthält über 60 Übungsaufgaben mit Lösungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die Möglichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Example text

Auch ein derartiger randomisierter Algorithmus berechnet f¨ ur jedes P die korrekte L¨osung. Er kann aber zwischen mehreren alternativen Vorgehensweisen w¨ahlen. Je nach der Beschaffenheit von P kann die eine oder die andere schneller zum Ziel f¨ uhren. Wir interessieren uns f¨ ur den Mittelwert. Genauer: Wir erlauben dem Algorithmus A, bei der Bearbeitung eines Problembeispiels P der Gr¨oße n insgesamt r(n) mal eine M¨ unze zu werfen (und in Abh¨angigkeit vom Ergebnis intern zu verzweigen). Diese M¨ unzw¨ urfe liefern zusammen einen von oglichen Zufallsvektoren der L¨ange r(n).

Diese Be¨ ziehung ist offenbar eine Aquivalenzrelation. F¨ ur die Funktion g 3 von oben gilt g ∈ Θ(n ). Wir sagen, g w¨achst wie n3 oder g hat die Gr¨oßenordnung n3 . 11 Wir betrachten Funktionen von den nat¨ urlichen Zahlen in die nicht-negativen reellen Zahlen. (i) Welche Funktionen liegen in Θ(1)? 12345 (ii) Wann gilt f (n) ∈ O( f (n) )? (iii) Seien a, b, c, reell mit 1 < b, 1 ≤ a, c. Man zeige: logb (an + c) ∈ Θ(log2 n). (iv) Seien f1 , f2 , . . Funktionen in O(g). Gilt dann n fi (n) ∈ O(n · g(n))?

0 1 0 V ... Abb. 17 Der Entscheidungsbaum eines vergleichsbasierten Sortierverfahrens. Genau die Eingabetupel aus der Menge W (i, j)∩W (l, k)∩W (j, l) = {(q1 , . . , qn ) ∈ Qn ; qi < qj < ql < qk } 6 Wir interessieren uns nur f¨ ur die Vergleiche und ignorieren alle Neben” rechnungen“ von A. 2 Ein paar Grundbegriffe f¨ uhren zum Knoten v. Weil A das Sortierproblem l¨ost, gibt es zu jedem Blatt des Entscheidungsbaums eine Permutation π, so daß nur Inputfolgen mit qπ(1) < qπ(2) < . . < qπ(n) zu diesem Blatt f¨ uhren.

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Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen by Rolf Klein


by Donald
4.4

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