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Alexander Schmitt's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Alexander Schmitt

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1 ±1 ±1 ±1 Bestimmen Sie die spezielle Symmetriegruppe SO(W). b) Die Punkte       ±1   0   0  0  ,  ±1  ,  0      0 0 ±1     Ê3 der W¨urfel mit den sind Eckpunkte eines Polyeders O ⊂ Ê3 . Skizzieren Sie O. Bestimmen Sie die spezielle Symmetriegruppe SO(O). Vergleichen Sie SO(O) und SO(W). Was stellen Sie fest? Haben Sie eine Erkl¨arung daf¨ur? c) Ein Dodekaeder D ⊂ Ê3 ist ein regul¨ares Polyeder, das von 12 regelm¨aßigen F¨unfecken begrenzt wird: .

Schließlich seien g, g′ ∈ Ker(ϕ). Wir berechnen ϕ(g · g′ ) = ϕ(g) · ϕ(g′ ) = e · e = e und schließen g · g′ ∈ Ker(ϕ). Nun zeigen wir, dass Im(ϕ), das sogenannte Bild von ϕ, eine Untergruppe von H ist. Da ϕ(e) = e, folgt e ∈ Im(ϕ). Nun seien h ∈ Im(ϕ) und g ∈ G mit ϕ(g) = h. Wir finden h−1 = ϕ(g)−1 = ϕ(g−1 ) und damit h−1 ∈ Im(ϕ). Zu Elementen h, h′ ∈ Im(ϕ) existieren g, g′ ∈ G mit h = ϕ(g) und h′ = ϕ(g′ ). Somit gilt h · h′ = ϕ(g) · ϕ(g′ ) = ϕ(g · g′ ), und wir erkennen h · h′ ∈ Im(ϕ). Das Konzept des Kerns liefert ein n¨utzliches Kriterium f¨ur die Injektivit¨at eines Gruppenhomomorphismus.

Wir zeigen, dass Erz(M) eine Untergruppe von G ist. 13, ii), festgehalten. s 1 ∈ Erz(M). · · · · · g−m ⋆ Es sei g = gm1 1 · · · · · gms s ∈ Erz(M). Dann folgt g−1 = g−m s 1 ⋆ F¨ur g = gm1 1 · · · · · gms s ∈ Erz(M) und h = hn11 · · · · · hns t ∈ Erz(M) hat man auch g · h = gm1 1 · · · · · gms s · hn11 · · · · · hns t ∈ Erz(M). Schritt 2. Die Inklusion M ⊂ Erz(M) ist offensichtlich. Schritt 3. Wir weisen Erz(M) ⊂ M nach. Dabei d¨urfen wir M ∅ voraussetzen. Zun¨achst zeigen wir, dass f¨ur g ∈ M und k ∈ stets auch gk ∈ M .

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Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Alexander Schmitt


by Mark
4.3

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