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By Buchmann J.

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Version 6. August 1996 61 Falls die Dimension 1 ist, ist f irreduzibel 1 7! (1 : : : 1). Sei v2 2 V , v2 linear unabhangig von 1. Dann ist das Bild (s1 : : : sk ) mit si 6= sj fur i 6= j . v2 ; si 7! h. fij(v2 ; si ), fj6 j(v2 ; si). Bilde also fur s = 0 1 : : : p ; 1 den ggT(v2 ; s f ). 1. Satz (Chinesischer Restsatz) Sei R Hauptidealring, m1 : : : mk paarweise teilerfremde Ringelemente, x1 : : : xk 2 R. Dann gibt es ein modulo M = m1 : : : mk eindeutig bestimmtes x 2 R mit x xi mod mi 1 i k. Beweis: Setze Mi = M mi 1 i k.

Version 6. 5. De nition Ist U ein Normalteiler von G, so hei t die Gruppe der Nebenklassen von U in G Faktorgruppe von G nach U , in Zeichen G=U . 6. Beispiel GL(2 ZZ)=SL(2 ZZ) = ( ! 7. Satz Ist H eine weitere Gruppe und ' : G ! H ein Homomorphismus, so ist G0 = Kern ' ein Normalteiler von G und die Abbildung G=G0 ! Bild', aG0 7! '(a) ist ein Isomorphismus. 18 Erzeugendensysteme Sei G eine Gruppe und S G. 1. De nition 1. Die von S erzeugte Gruppe ist der Durchschnitt aller Untergruppen von G, die S enthalten.

9. Beispiel ZZ ist ZPE-Ring. 10. Satz Folgende Aussagen sind aquivalent. 1. R ist ZPE-Ring. 2. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt irreduzibler Elemente und jedes irreduzible Element ist Primelement. 3. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt von Primelementen. Beweis: Sei R ein ZPE-Ring. Dann ist nach De nition jede von Null verschiedene Nicht- einheit ein Produkt irreduzibler Elemente. Sei p irreduzibel, p ein Teiler von ab. Dann kommt p in der Zerlegung von ab vor und wegen der Eindeutigkeit erhalt man diese Zerlegung aus der Zerlegung von a und b.