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By Buchmann J.

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It has extensively been well-known that submodular features play crucial roles in successfully solvable combinatorial optimization difficulties. because the book of the first version of this ebook fifteen years in the past, submodular features were displaying extra expanding significance in optimization, combinatorics, discrete arithmetic, algorithmic desktop technological know-how, and algorithmic economics, and there were made striking advancements of thought and algorithms in submodular features.

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Version 6. August 1996 61 Falls die Dimension 1 ist, ist f irreduzibel 1 7! (1 : : : 1). Sei v2 2 V , v2 linear unabhangig von 1. Dann ist das Bild (s1 : : : sk ) mit si 6= sj fur i 6= j . v2 ; si 7! h. fij(v2 ; si ), fj6 j(v2 ; si). Bilde also fur s = 0 1 : : : p ; 1 den ggT(v2 ; s f ). 1. Satz (Chinesischer Restsatz) Sei R Hauptidealring, m1 : : : mk paarweise teilerfremde Ringelemente, x1 : : : xk 2 R. Dann gibt es ein modulo M = m1 : : : mk eindeutig bestimmtes x 2 R mit x xi mod mi 1 i k. Beweis: Setze Mi = M mi 1 i k.

Version 6. 5. De nition Ist U ein Normalteiler von G, so hei t die Gruppe der Nebenklassen von U in G Faktorgruppe von G nach U , in Zeichen G=U . 6. Beispiel GL(2 ZZ)=SL(2 ZZ) = ( ! 7. Satz Ist H eine weitere Gruppe und ' : G ! H ein Homomorphismus, so ist G0 = Kern ' ein Normalteiler von G und die Abbildung G=G0 ! Bild', aG0 7! '(a) ist ein Isomorphismus. 18 Erzeugendensysteme Sei G eine Gruppe und S G. 1. De nition 1. Die von S erzeugte Gruppe ist der Durchschnitt aller Untergruppen von G, die S enthalten.

9. Beispiel ZZ ist ZPE-Ring. 10. Satz Folgende Aussagen sind aquivalent. 1. R ist ZPE-Ring. 2. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt irreduzibler Elemente und jedes irreduzible Element ist Primelement. 3. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt von Primelementen. Beweis: Sei R ein ZPE-Ring. Dann ist nach De nition jede von Null verschiedene Nicht- einheit ein Produkt irreduzibler Elemente. Sei p irreduzibel, p ein Teiler von ab. Dann kommt p in der Zerlegung von ab vor und wegen der Eindeutigkeit erhalt man diese Zerlegung aus der Zerlegung von a und b.

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Algebra fur Informatiker by Buchmann J.


by Ronald
4.2

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